罗德里格斯公式推导

一下是一大堆推导公式,之前一直没理解的原因是究竟什么是罗德里格斯公式,做什么用的。

如图向量V绕K轴旋转\theta角到向量V_{rot},我之前的理解是两个向量的旋转关系是旋转矩阵R,罗德里格斯公式的目的是用角度来表示旋转矩阵R,就是R与\theta转化公式。

所谓推导旋转方程,实则求出一个旋转矩阵R,使得vrot=Rv。所以我们要做的就是找出vrot与v之间的关系,并用矩阵来表示。

由点乘的投影几何意义可得: v// = (v • k)k (v•k为标量,所以再乘k得到一个矢量)

( b可直接由图看出,而a则相对复杂。因为a是vrot⊥在w方向上的分量,所以我们必须用一矢量来表示。已知v⊥和vrot⊥模长相等,所以可用sinΘk x v⊥来表示a。

但是我们先前说过要找出v和vrot的关系,所以要用v去表示。我们发现sinαv =v⊥,所以sinΘk x v⊥=sinΘ k x v 。其中α为v与k的夹角)

显然:到此步,我们还无法将其用矩阵来表示,所以需要对 (v • k)k 和 k x v 进行矩阵转换

显然,第二种表达式更为简便,在计算的过程中涉及的参数更少,所以这也是在进行旋转操作时常用的公式。

旋转向量的定义:我们知道,任意一个旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角来刻画。于是,我们可以使用一个向量,其方向和旋转轴一致,长度等于旋转角。这种向量就称为旋转向量。通过这种表达方式,通过一个三维向量就可以表示旋转了。